Exercice 1, § 3

Soit $\alpha \mapsto f_\alpha$ une action de $\Omega$ sur $E$. Soit $F$ l’image de $\Omega$ dans $E^E$ et soit $G$ la partie stable de $E^E$ pour la loi $(f, g) \mapsto f \circ g$, engendrée par $F$ et par l’application identique de $E$. a) Montrer que toute partie de $E$ stable pour l’action de $\Omega$ est aussi stable pour la restriction à $G$ de l’action canonique de $E^E$ sur $E$ (I, p. 24, Exemple 3). b) Soit $X$ une partie de $E$; montrer que la partie stable de $E$ engendrée par $X$ est l’ensemble des $f(x)$, où $f$ parcourt $G$ et $x$ parcourt $X$.