Exercice 9, § 3

On suppose données sur E une addition (associative et commutative) ayant un élément neutre et pour laquelle tous les éléments de E sont inversibles, et une multiplication, non associative, mais commutative et doublement distributive par rapport à l’addition. On suppose en outre que n ∈ Z, n ≠ 0 et nx = 0 entraînent x = 0 dans E. Montrer que si, en posant [x, y, z] = (xy)z − x(yz), on a l’identité

alors $x^{m+n} = x^m x^n$ quel que soit x (montrer, par récurrence sur p, qu’on a l’identité [x^q, y, x^{p-q}] = 0 pour $1 \leq q < p$).