Exercice 8, § 4

Algèbre, I, p. 124

Soient $A$ et $A'$ deux groupes, et soit $G$ un sous-groupe de $A \times A'$ . On pose:

\begin{align*} N &= G \cap (A \times \{e\}), & H &= \operatorname{pr}_1(G) \\ N' &= G \cap (\{e\} \times A'), & H' &= \operatorname{pr}_2(G). \end{align*}

a) Montrer que $N$ est distingué dans $H$ et $N'$ distingué dans $H'$ ; définir des isomorphismes

H/N \to G/(N \times N') \to H'/N'.

b) On suppose que $H = A$ , $H' = A'$ , que les groupes $A$ et $A'$ sont de longueur finie, et qu’aucun quotient d’une suite de Jordan-Hölder de $A$ n’est isomorphe à un quotient d’une suite de Jordan-Hölder de $A'$ . Montrer que $G = A \times A'$ .

Solution

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