Exercice 9, § 4

Soit $G$ un groupe non réduit à l’élément neutre. On suppose qu’il existe une partie finie $S$ de $G$ telle que $G$ soit engendré par $S$ (resp. par les éléments $gsg^{-1}$, pour $g \in G, s \in S$). Soit $\mathfrak{N}$ l’ensemble des sous-groupes de $G$ (resp. des sous-groupes distingués de $G$) distincts de $G$. Montrer que $\mathfrak{N}$, ordonné par inclusion, est inductif. En déduire l’existence d’un sous-groupe distingué $H$ de $G$ tel que $G/H$ soit simple.