Exercice 18, § 5

Soit $\Gamma$ un groupe de permutations d’un ensemble E. Soient A et B deux parties de E, complémentaires l’une de l’autre, stables par $\Gamma$. On désigne par $\Gamma_A$ et $\Gamma_B$ les groupes formés des restrictions des permutations de $\Gamma$ à A et B respectivement, par $\Delta_A$ et $\Delta_B$ les sous-groupes de $\Gamma$ qui laissent invariants respectivement tout élément de A et tout élément de B. Montrer que $\Delta_A$ et $\Delta_B$ sont des sous-groupes distingués de $\Gamma$, et que $\Gamma_A$ est isomorphe à $\Gamma/\Delta_A$ et $\Gamma_B$ à $\Gamma/\Delta_B$; si $\Delta_{AB}$ (resp. $\Delta_{BA}$) est le groupe formé des restrictions des permutations de $\Delta_A$ (resp. $\Delta_B$) à B (resp. A), montrer que les groupes quotients $\Gamma_A/\Delta_{BA}$, $\Gamma_B/\Delta_{AB}$ et $\Gamma/(\Delta_A\Delta_B)$ sont isomorphes (utiliser I, p. 130, exerc. 8).