Bài tập 18, § 5

Cho $\Gamma$ là một nhóm các phép thế của một tập hợp E. Cho A và B là hai tập con của E, bù nhau cho nhau và ổn định dưới $\Gamma$. Gọi $\Gamma_A$ và $\Gamma_B$ là các nhóm gồm các hạn chế của các phép thế trong $\Gamma$ lên A và B tương ứng, và $\Delta_A$ và $\Delta_B$ là các nhóm con của $\Gamma$ lần lượt để bất biến mọi phần tử của A và mọi phần tử của B. Hãy chỉ ra rằng $\Delta_A$ và $\Delta_B$ là các nhóm con chuẩn tắc của $\Gamma$ và rằng $\Gamma_A$ đẳng cấu với $\Gamma/\Delta_A$ và $\Gamma_B$ với $\Gamma/\Delta_B$; nếu $\Delta_{AB}$ (tương ứng $\Delta_{BA}$) là nhóm gồm các hạn chế của các phép thế trong $\Delta_A$ (tương ứng $\Delta_B$) lên B (tương ứng A), hãy chỉ ra rằng các nhóm thương $\Gamma_A/\Delta_{BA}$, $\Gamma_B/\Delta_{AB}$ và $\Gamma/(\Delta_A \Delta_B)$ là đẳng cấu (dùng Bài tập 8).