Exercice 24, § 5

a) Montrer qu’il existe un sous-groupe $H$ de $S_6$, isomorphe à $S_5$, et ne laissant fixe aucun élément de $\{1, 6\}$ (faire opérer $S_5$ par automorphismes intérieurs sur l’ensemble de ses sous-groupes d’ordre 5, qui est à 6 éléments). b) Montrer qu’il existe un automorphisme $\sigma$ de $S_6$ qui transforme $(1\ 2)$ en $(1\ 2)(3\ 4)(5\ 6)$. (Faire opérer $S_6$ sur $S_6/H$, où $H$ est choisi comme ci-dessus.) c) Montrer que le groupe des automorphismes intérieurs de $S_6$ est d’indice 2 dans le groupe de tous les automorphismes de $S_6$. (Soit $\alpha$ un automorphisme de $S_6$; montrer que $\alpha$ transforme une transposition soit en une transposition, soit en un conjugué de $(1\ 2)(3\ 4)(5\ 6)$. En utilisant l’exerc. 23, montrer que, dans le premier (resp. second) cas, $\alpha$ (resp. $\alpha \circ \sigma$) est un automorphisme intérieur.)