Bài tập 24, § 5

(a) Chứng minh rằng tồn tại một nhóm con $H$ của $\mathfrak{S}_6$ đẳng cấu với $\mathfrak{S}_5$ và không cố định phần tử nào của $\{1, 6\}$ (cho $\mathfrak{S}_5$ tác động bằng các tự đẳng cấu trong trên tập hợp các nhóm con của nó có cấp 5, tập hợp này có 6 phần tử).

(b) Chứng minh rằng tồn tại một tự đẳng cấu $\sigma$ của $\mathfrak{S}_6$ biến $(1\ 2)$ thành $(1\ 2)(3\ 4)(5\ 6)$. (Cho $\mathfrak{S}_6$ tác động trên $\mathfrak{S}_6/H$, trong đó $H$ được chọn như trên.)

(c) Chứng minh rằng nhóm các tự đẳng cấu trong của $\mathfrak{S}_6$ có chỉ số 2 trong nhóm tất cả các tự đẳng cấu của $\mathfrak{S}_6$. (Cho $\alpha$ là một tự đẳng cấu của $\mathfrak{S}_6$; chứng minh rằng $\alpha$ biến một chuyển vị thành một chuyển vị hoặc thành một phần tử liên hợp với $(1\ 2)(3\ 4)(5\ 6)$. Sử dụng bài tập 23, chứng minh rằng trong trường hợp thứ nhất (resp. trường hợp thứ hai) $\alpha$ (resp. $\alpha \circ \sigma$) là một tự đẳng cấu trong.)