Exercice 3, § 5

Soient $\Gamma$ le groupe des automorphismes d’un groupe $G$, $\Delta$ le groupe des automorphismes intérieurs de $G$; montrer que $\Delta$ est sous-groupe distingué de $\Gamma$. Pour qu’un automorphisme $\sigma$ de $G$ soit permutable avec tous les automorphismes intérieurs de $G$, il faut et il suffit que, pour tout $x \in G$, $x^{-1}\sigma(x)$ appartienne au centre de $G$; en déduire que, si le centre de $G$ est réduit à l’élément neutre, il en est de même du centralisateur de $\Delta$ dans $\Gamma$.