Exercice 18, § 6

Soit $n$ un entier $\geq 1$ et soit G un groupe commutatif, noté additivement, tel que $nx = 0$ pour tout $x \in G$. Soit H un sous-groupe de G et soit $f$ un homomorphisme de H dans $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$. a) Soit $x \in G$ et soit q l’ordre de l’image de $x$ dans G/H; on a $qx \in H$. Montrer qu’il existe $\alpha \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ tel que $q\alpha = f(x)$. En déduire l’existence d’un prolongement de $f$ au sous-groupe de G engendré par H et $x$. b) Montrer que $f$ se prolonge en un homomorphisme de G dans $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ (utiliser le théorème de Zorn).