Bài tập 18, § 6

Cho $n$ là một số nguyên $\geq 1$ và G là một nhóm giao hoán, được viết theo phép cộng, sao cho $nx = 0$ với mọi $x \in G$. Cho H là một nhóm con của G và $f$ là một đồng cấu từ H vào $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$. (a) Cho $x \in G$ và cho q là cấp của ảnh của $x$ trong G/H; ta có $qx \in H$. Chứng minh rằng tồn tại $\alpha \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ sao cho $q\alpha = f(x)$. Suy ra sự tồn tại của một mở rộng của $f$ đến nhóm con của G sinh bởi H và $x$. (b) Chứng minh rằng $f$ mở rộng được thành một đồng cấu từ G vào $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ (sử dụng định lý Zorn).