Exercice 21, § 6

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers tels que $p > q$. a) Montrer que tout groupe fini G d’ordre $pq$ est extension de $\mathbf{Z}/q\mathbf{Z}$ par $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ (remarquer que tout $p$-sous-groupe de Sylow de G est distingué). Si de plus $p \not\equiv 1 \pmod{q}$, montrer que G est cyclique. b) En déduire que le centre d’un groupe ne peut pas être d’indice 69. c) Montrer que, si $p \equiv 1 \pmod{q}$ il existe un groupe d’ordre $pq$ dont le centre est réduit à $e$. d) Montrer que tout groupe non commutatif d’ordre 6 est isomorphe à $\mathfrak{S}_3$.