Bài tập 21, § 6

Cho $p$ và $q$ là hai số nguyên tố sao cho $p > q$. (a) Bây giờ chứng minh rằng mọi nhóm hữu hạn G có cấp $pq$ đều là một mở rộng của $\mathbf{Z}/q\mathbf{Z}$ bởi $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ (chú ý rằng mọi nhóm con p-Sylow của G đều được phân biệt). Nếu hơn nữa $p \not\equiv 1 \pmod{q}$, chứng minh rằng G là cyclic. (b) Suy ra rằng tâm của một nhóm không thể có chỉ số 69. (c) Bây giờ chứng minh rằng, nếu $p \equiv 1 \pmod{q}$ thì tồn tại một nhóm có cấp $pq$ mà tâm chỉ còn là $e$. (d) Bây giờ chứng minh rằng mọi nhóm không giao hoán có cấp 6 đều đẳng cấu với $\mathfrak{S}_3$.