Exercice 24, § 6

Soit G un groupe fini, soit H un sous-groupe de Sylow de G et soit N le normalisateur de H. Soient $X_1, X_2$ deux parties du centre de H, et soit $s \in G$ tel que $sX_1s^{-1} = X_2$. Montrer qu’il existe $n \in \mathbf{N}$ tel que $nxn^{-1} = sx(s^{-1})$ pour tout $x \in X_1$ (appliquer le théorème de conjugaison des sous-groupes de Sylow au centralisateur de $X_1$). En déduire que deux éléments centraux de H sont conjugués dans G si et seulement si ils le sont dans N.