Bài tập 24, § 6

Cho $G$ là một nhóm hữu hạn, cho $H$ là một nhóm Sylow của $G$ và cho $N$ là nhóm chuẩn hóa của $H$. Cho $X_1, X_2$ là hai tập con của tâm của $H$, và cho $s \in G$ sao cho $sX_1s^{-1} = X_2$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại $n \in \mathbf{N}$ sao cho $nxn^{-1} = sx(s^{-1})$ với mọi $x \in X_1$ (áp dụng định lý liên hợp của các nhóm Sylow cho nhóm giao hoán hóa của $X_1$). Suy ra rằng hai phần tử trung tâm của $H$ là liên hợp trong $G$ khi và chỉ khi chúng cũng là như vậy trong $N$.