Exercice 25, § 6

Soit $\varphi : G \to G'$ un homomorphisme surjectif de groupes finis; soit P un $p$-sous-groupe de Sylow de G. a) Soit $P_1$ un $p$-sous-groupe de Sylow de G tel que $\varphi(P) = \varphi(P_1)$. Montrer qu’il existe un élément x du noyau de $\varphi$ tel que $P_1 = xPx^{-1}$. b) Soit N (resp. $N'$) le normalisateur dans G (resp. dans $G'$) de P (resp. de $\varphi(P)$). Montrer que $\varphi(N) = N'$. En particulier, si l’ordre de $G'$ n’est pas divisible par $p$, on a $\varphi(P) = \{e\}$ et $\varphi(N) = G'$.