Bài tập 25, § 6

Cho $\varphi : G \to G'$ là một đồng cấu toàn ánh của các nhóm hữu hạn; cho P là một nhóm con Sylow $p$ của G. (a) Cho $P_1$ là một nhóm con Sylow $p$ của G sao cho $\varphi(P) = \varphi(P_1)$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một phần tử x của hạt nhân của $\varphi$ sao cho $P_1 = xPx^{-1}$. (b) Cho N (tương ứng $N'$) là chuẩn hóa tử trong G (tương ứng trong $G'$) của P (tương ứng của $\varphi(P)$). Bây giờ chứng minh rằng $\varphi(N) = N'$. Đặc biệt, nếu cấp của $G'$ không chia hết cho $p$, thì có $\varphi(P) = \{e\}$ và $\varphi(N) = G'$.