Exercice 26, § 6

Soit G un groupe fini. On dit que G est hyper-résoluble s’il existe une suite de composition $(G_i)_{0 \leq i \leq n}$ de G formée de sous-groupes distingués de G telle que les quotients $G_i/G_{i+1}$ soient cycliques. a) Montrer que tout sous-groupe, tout groupe quotient et tout produit fini de groupes hyper-résolubles est hyper-résoluble. b) Montrer que nilpotent $\Rightarrow$ hyper-résoluble $\Rightarrow$ résoluble, et que les implications réciproques sont fausses. c) On suppose G hyper-résoluble. Montrer que, si $G \neq \{1\}$, il existe un sous-groupe distingué C de G qui est cyclique d’ordre premier. Montrer que le dérivé D(G) de G est nilpotent. Montrer que tout sous-groupe de G distinct de G, et maximal, est d’indice premier. d) On dit qu’un groupe fini G est bicyclique s’il existe deux éléments a, b de G tels que, si l’on désigne par $C_a$ et $C_b$ les sous-groupes cycliques engendrés par a et b respectivement, on a $G = C_a C_b = C_b C_a$. Montrer que tout groupe bicyclique est hyper-résoluble. (Se ramener à prouver qu’il existe dans G un sous-groupe cyclique distingué $N \neq \{1\}$. On peut se borner au cas où $C_a \cap C_b = \{1\}$; soient $m \geq n > 1$ les ordres de a et b respectivement; en considérant les éléments $b^{-1} a^k$, où $0 \leq k \leq m-1$, montrer qu’il existe un entier s tel que $a^s \neq 1$ et $b^{-1} a^s b \in C_a$; l’ensemble des $a^s$ ayant cette propriété est le sous-groupe cyclique N cherché.)