Bài tập 26, § 6

Cho $G$ là một nhóm hữu hạn. $G$ được gọi là giải được siêu nếu tồn tại một chuỗi hợp thành $(G_i)_{0 \leq i \leq n}$ của $G$ gồm các nhóm con chuẩn của $G$ sao cho các nhóm thương $G_i/G_{i+1}$ là cyclic. (a) Chứng minh rằng mọi nhóm con, mọi nhóm thương và mọi tích hữu hạn của các nhóm giải được siêu đều là giải được siêu. (b) Chứng minh rằng lũy linh $\Rightarrow$ giải được siêu $\Rightarrow$ giải được và các đảo lại là sai.

(c) Giả sử G là giải được siêu. Chứng minh rằng, nếu $G \neq \{1\}$, tồn tại một nhóm con chuẩn C của G là cyclic có cấp nguyên tố. Chứng minh rằng nhóm dẫn xuất D(G) của G là lũy linh. Chứng minh rằng mọi nhóm con của G khác G mà là cực đại đều có chỉ số nguyên tố.

(d) Một nhóm hữu hạn G là hai cyclic nếu tồn tại hai phần tử $a, b$ của G sao cho, nếu $C_a$ và $C_b$ lần lượt là các nhóm con cyclic sinh bởi $a$ và $b$, thì $G = C_a C_b = C_b C_a$. Chứng minh rằng mọi nhóm hai cyclic đều là giải được siêu. (Rút gọn về việc chứng minh rằng tồn tại trong G một nhóm con cyclic chuẩn $N \neq \{1\}$. Có thể chỉ xét trường hợp $C_a \cap C_b = \{1\}$; gọi $m \geq n > 1$ là các cấp của $a$ và $b$ tương ứng; bằng cách xét các phần tử $b^{-1} a^k$, với $0 \leq k \leq m - 1$, chứng minh rằng tồn tại một số nguyên s sao cho $a^s \neq 1$ và $b^{-1} a^s b \in C_a$; tập hợp các $a^s$ có tính chất này là nhóm con cyclic N cần tìm.)