Exercice 28, § 6

Soit G un groupe fini et soit $p$ un nombre premier. Un élément $s \in G$ est dit $p$-unipotent (resp. $p$-régulier) si son ordre est une puissance de $p$ (resp. n’est pas divisible par $p$). a) Soit $x \in G$. Montrer qu’il existe un unique couple $(u, t)$ d’éléments de G satisfaisant aux conditions suivantes: $u$ est $p$-unipotent, $t$ est $p$-régulier, $x = ut = tu$. (Considérer d’abord le cas où G est le groupe cyclique engendrée par x.) b) Soit P un $p$-groupe de Sylow de G, soit C son centralisateur et soit E l’ensemble des éléments $p$-réguliers de G. Montrer que

En déduire que $\operatorname{Card}(E) \not\equiv 0 \pmod{p}$. (Raisonner par récurrence sur $\operatorname{Card}(G)$ et se ramener au cas où $C = G$; utiliser alors a) pour montrer que $\operatorname{Card}(E) = (G : P)$.)