Bài tập 28, § 6

Cho G là một nhóm hữu hạn và $p$ là một số nguyên tố. Một phần tử $s \in G$ được gọi là p-unipotent (tương ứng p-chính quy) nếu cấp của nó là một lũy thừa của $p$ (tương ứng không chia được cho $p$).

(a) Cho $x \in G$. Chứng minh rằng tồn tại một cặp có thứ tự duy nhất $(u, t)$ gồm các phần tử của G thỏa mãn các điều kiện sau: $u$ là p-unipotent, $t$ là p-chính quy, $x = ut = tu$. (Xét trước trường hợp G là nhóm cyclic sinh bởi $x$.)

(b) Cho P là một nhóm $p$ Sylow của G, C là nhóm giao hoán tử của nó và E là tập hợp các phần tử p-chính quy của G. Chứng minh rằng

Suy ra rằng $\operatorname{Card}(E) \not\equiv 0 \pmod{p}$. (Lập luận bằng quy nạp theo $\operatorname{Card}(G)$ và rút gọn về trường hợp $C = G$; sau đó dùng (a) để chứng minh rằng $\operatorname{Card}(E) = (G : P)$.)