Exercice 33, § 6

Soit G un $p$-groupe et soit A le groupe de ses automorphismes. a) Soit $(G_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ une suite de composition de G telle que $(G_i : G_{i+1}) = p$ pour $0 \leqslant i \leqslant n-1$. Soit P le sous-groupe de A formé des automorphismes $u$ tels que, pour tout $i$ et tout $x \in G_i$, on ait $u(x)x^{-1} \in G_{i+1}$. Montrer que, si un élément $u \in P$ est d’ordre premier à $p$, on a $u = 1$ (raisonner par récurrence sur $n$). En déduire que P est un $p$-groupe. b) Inversement, soit P un $p$-sous-groupe de A. Montrer qu’il existe une suite de composition $(G_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ de G, stable par P, et telle que $(G_i : G_{i+1}) = p$ pour $0 \leqslant i \leqslant n-1$; montrer que l’on peut choisir les $G_i$ distingués dans G.