Bài tập 33, § 6

Cho G là một $p$-nhóm và cho A là nhóm các tự đẳng cấu của nó. a) Cho $(G_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ là một dãy hợp thành của G sao cho $(G_i : G_{i+1}) = p$ với $0 \leqslant i \leqslant n-1$. Cho P là nhóm con của A tạo thành bởi các tự đẳng cấu $u$ sao cho, với mọi $i$ và mọi $x \in G_i$, ta có $u(x)x^{-1} \in G_{i+1}$. Bây giờ chứng minh rằng, nếu một phần tử $u \in P$ có cấp nguyên tố cùng nhau với $p$, thì $u = 1$ (lập luận bằng quy nạp theo $n$). Suy ra rằng P là một $p$-nhóm. b) Ngược lại, cho P là một $p$-nhóm con của A. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một dãy hợp thành $(G_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ của G, ổn định dưới tác động của P, sao cho $(G_i : G_{i+1}) = p$ với $0 \leqslant i \leqslant n-1$; chứng minh rằng có thể chọn các $G_i$ phân biệt trong G.