Exercice 37, § 6

a) Soient $G$ un groupe fini, $H$ un sous-groupe distingué de $G$, $p$ un nombre premier ne divisant pas l’ordre de $H$, et $P$ un $p$-sous-groupe de Sylow de $G$. Montrer que $HP$ est produit semi-direct de $P$ par $H$. b) Disons qu’un groupe fini $G$ a la propriété (ST) s’il existe une numérotation $p_1, \ldots, p_s$ des nombres premiers distincts divisant l’ordre

de $G$, et des $p_i$-sous-groupes de Sylow $P_1, \ldots, P_s$ de $G$, tels que, pour $1 \leq i \leq s$, l’ensemble $G_i = P_1 P_2 \ldots P_i$ soit un sous-groupe distingué de $G$. Montrer que, s’il en est ainsi, $G_i$ ne dépend pas du choix des $P_i$; c’est l’unique sous-groupe de $G$ d’ordre $p_1^{a_1} \ldots p_i^{a_i}$; de plus, $G_i$ est produit semi-direct de $P_i$ par $G_{i-1}$. c) Montrer qu’un groupe fini $G$ a la propriété (ST) si et seulement si il existe un sous-groupe de Sylow $P$ de $G$, distingué dans $G$ et tel que $G/P$ ait la propriété (ST). d) Montrer que tout sous-groupe, tout groupe quotient et toute extension centrale d’un groupe ayant la propriété (ST) a la propriété (ST).