Bài tập 37, § 6

(a) Cho $G$ là một nhóm hữu hạn, $H$ là một nhóm con chuẩn của $G$, $p$ là một số nguyên tố không chia cấp của $H$ và $P$ là một nhóm con Sylow $p$ của $G$. Chứng minh rằng HP là tích bán trực tiếp của $P$ bởi $H$.

(b) Ta nói rằng một nhóm hữu hạn $G$ có tính chất (ST) nếu tồn tại một cách đánh số $p_1, \ldots, p_s$ các số nguyên tố phân biệt chia cấp

của $G$ và các nhóm con Sylow $p_i$ $P_1, \ldots, P_s$ của $G$ sao cho, với $1 \leq i \leq s$, tập hợp $G_i = P_1 P_2 \ldots P_i$ là một nhóm con chuẩn của $G$. Chứng minh rằng, nếu điều này đúng, $G_i$ không phụ thuộc vào sự lựa chọn các $P_i$; nó là nhóm con duy nhất của $G$ có cấp $p_1^{a_1} \cdots p_i^{a_i}$; hơn nữa, $G_i$ là tích bán trực tiếp của $P_i$ bởi $G_{i-1}$.

(c) Chứng minh rằng một nhóm hữu hạn $G$ có tính chất (ST) khi và chỉ khi tồn tại một nhóm con Sylow $P$ của $G$ chuẩn trong $G$ và sao cho $G/P$ có tính chất (ST).

(d) Chứng minh rằng mọi nhóm con, mọi nhóm thương và mọi mở rộng trung tâm của một nhóm có tính chất (ST) đều có tính chất (ST).