Exercice 41, § 6

Algèbre, I, p. 143

Soient $x, y$ deux éléments d’un groupe $G$ . a) Pour qu’il existe $a, b$ dans $G$ tels que $bay = xab$ , il faut et il suffit que $xy^{-1}$ soit un commutateur. b) Pour qu’il existe $2n + 1$ éléments $a_1, a_2, \ldots, a_{2n+1}$ dans $G$ tels que

x = a_1 a_2 \ldots a_{2n+1} \quad \text{et} \quad y = a_{2n+1} a_{2n} \ldots a_1

il faut et il suffit que

xy^{-1}

soit un produit de

n

commutateurs (raisonner par récurrence sur

n

Solution

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