Exercice 5, § 6

Soit F un groupe dont le centre est réduit à $e$ et soit A le groupe de ses automorphismes. On identifie F à un sous-groupe de A au moyen de l’homomorphisme Int: $F \to A$; soit $\Gamma = A/F$. a) Montrer que l’extension $F \to A \to \Gamma$ n’est triviale que si $\Gamma = \{e\}$ (remarquer que le centralisateur de F dans A est réduit à $e$). b) On suppose que $\Gamma = \{e\}$. Montrer que toute extension

d’un groupe G par le groupe F est triviale.