Exercice 9, § 6

Soit $F \to E \to G$ une extension de groupes finis. On suppose qu’aucun nombre premier ne divise à la fois l’ordre de $F$ et l’ordre de $G$. a) On suppose $F$ résoluble. Montrer qu’il existe une section $s : G \to E$ et que deux telles sections sont conjuguées par un élément de $F$. (On raisonnnera par récurrence sur la classe de résolvabilité de $F$; lorsque $F$ est commutatif, on utilisera l’exercice précédent.) b) Montrer l’existence d’une section$^1 s : G \to E$ sans supposer $F$ résoluble. (Raisonnner par récurrence sur l’ordre de $G$. Si $p$ divise l’ordre de $F$, choisir un $p$-sous-groupe de Sylow $P$ de $F$ et considérer son normalisateur $N$ dans $E$. L’image de $N$ dans $G$ est égale à $G$, cf. I, p. 139, exerc. 25. Si $N \neq E$, conclure au moyen de l’hypothèse de récurrence; si $N = E$, utiliser a) ainsi que l’hypothèse de récurrence appliquée à $F/P \to E/P \to G.$)

1 Ici encore, on peut démontrer que deux telles sections sont conjuguées, cf. Feit-Thompson, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., XLVIII, 1962, p. 968–970.

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