Bài tập 9, § 6

Cho $F \to E \to G$ là một mở rộng của các nhóm hữu hạn. Giả sử không có số nguyên tố nào chia đồng thời cấp của $F$ và cấp của $G$. (a) Giả sử $F$ là giải được. Hãy chứng minh rằng tồn tại một tiết diện $s : G \to E$ và rằng hai tiết diện bất kỳ như vậy là liên hợp bởi một phần tử của $F$. (Ta sẽ suy luận bằng quy nạp theo lớp giải được của $F$; khi $F$ giao hoán, ta sẽ dùng bài tập trước.) (b) Hãy chứng minh sự tồn tại của một tiết diện$^1 s : G \to E$ mà không giả sử $F$ là giải được. (Suy luận bằng quy nạp theo cấp của $G$. Nếu $p$ chia cấp của $F$, chọn một nhóm con Sylow-$p$ $P$ của $F$ và xét chuẩn hóa tử $N$ của nó trong $E$. Ảnh của $N$ trong $G$ bằng $G$, cf. I, p. 139, exerc. 25. Nếu $N \neq E$, kết luận nhờ giả thiết quy nạp; nếu $N = E$, dùng (a) cũng như giả thiết quy nạp áp dụng cho $F/P \to E/P \to G.$)

1 Ở đây một lần nữa, người ta có thể chứng minh rằng hai tiết diện bất kỳ như vậy là liên hợp, cf. Feit-Thompson, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., XLVIII, 1962, p. 968–970.

BÀI TẬP