Exercice 14, § 7

Un groupe G est dit libre s’il possède une famille basique, donc est isomorphe à un groupe libre F(X) construit sur un ensemble X. a) Montrer que, si $(t_i)_{i \in I}$ et $(t'_j)_{j \in J}$ sont deux telles familles, on a Card(I) = Card(J). (Lorsque Card(I) est infini, on montrera qu’il en est même de Card(J), et que tous deux sont égaux à Card(G). Lorsque Card(I) est un entier d, on montrera que le nombre de sous-groupes d’indice 2 de G est $2^d - 1$.) Le cardinal d’une famille basique de G est appelé le rang de G. b) Un groupe libre est de rang 0 (resp. 1) si et seulement si il est réduit à $e$ (resp. isomorphe à $\mathbf{Z}$). c) Soit G un groupe libre de rang fini d, et soit $(x_1, \ldots, x_d)$ une famille génératrice à d éléments de G. Montrer que cette famille est basique. (Utiliser I, p. 149, exerc. 34, et I, p. 129, exerc. 5.) d) Montrer qu’un groupe libre de rang $\geq 2$ contient un sous-groupe libre de rang d donné, pour tout cardinal $d \leq \aleph_0$. (Utiliser I, p. 147, exerc. 22.)