Bài tập 14, § 7

Một nhóm G được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, và do đó đẳng cấu với một nhóm tự do F(X) được xây dựng trên một tập hợp X. (a) Chứng minh rằng, nếu $(t_i)_{i \in I}$ và $(t'_j)_{j \in J}$ là hai họ như vậy, thì có Card(I) = Card(J). (Khi Card(I) là vô hạn, ta sẽ chứng minh rằng điều tương tự đúng với Card(J), và cả hai đều bằng Card(G). Khi Card(I) là một số nguyên d, ta sẽ chứng minh rằng số các nhóm con có chỉ số 2 của G là $2^d - 1$.) Lực lượng của một cơ sở của G được gọi là hạng của G. (b) Một nhóm tự do có hạng 0 (tương ứng 1) khi và chỉ khi nó thu gọn về $e$ (tương ứng đẳng cấu với $\mathbf{Z}$). (c) Cho G là một nhóm tự do có hạng hữu hạn d, và cho $(x_1, \ldots, x_d)$ là một họ sinh gồm d phần tử của G. Chứng minh rằng họ này là một cơ sở. (Dùng I, p. 149, exerc. 34, và I, p. 129, exerc. 5.) (d) Chứng minh rằng một nhóm tự do có hạng $\geq 2$ chứa một nhóm con tự do có hạng d cho trước, với mọi lực lượng $d \leq \aleph_0$. (Dùng I, p. 147, exerc. 22.)