Exercice 20, § 7

On conserve les notations de l’exercice précédent. Soit H un sous-groupe de G. a) Soit R_H l’ensemble des parties S-connexes T de G telles que hT ∩ T = ∅ si h ∈ H, h ≠ e. Montrer que R_H est inductif pour la relation d’inclusion. b) Soit Y un élément maximal de R_H. Montrer que G = ⋃_{h ∈ H} hY, autrement dit que Y est un système de représentants des classes à droite modulo H. (Si G′ = ⋃_{h ∈ H} hY est distinct de G, montrer qu’il existe x ∈ G′ et y ∈ Y qui sont S-voisins, et en déduire que Y ∪ {x} appartient à R_H.) c) Soit S_H l’ensemble des éléments h ∈ H tels que Y et hY soient voisins. C’est une partie symétrique de H. Montrer qu’un élément h ∈ H appartient à S_H si et seulement si h ≠ e et s’il existe y, y′ dans Y, s ∈ S, tels que ys = hy′. Montrer que S_H engendre H. (Si H′ est le sous-groupe de H engendré par S_H, on prouvera que ⋃_{h ∈ H′} hY est une S-composante connexe de G.) Retrouver ce résultat au moyen de l’exerc. 14 de I, p. 125. d) Soit X_H une partie de S_H telle que S_H soit réunion disjointe de X_H et de X_H⁻¹ (on montrera qu’une telle partie existe).

EXERCICES

Montrer que $X_H$ est une famille basique pour $H$, et en particulier que $H$ est un groupe libre ("théorème de Nielsen-Schreier"). (Appliquer le critère de l’exerc. 18 c) de I, p. 146 à $H$, muni de $S_H$, en remarquant que deux éléments $h, h'$ de $H$ sont $S_H$-voisins si et seulement si $hY$ et $h'Y$ sont des parties voisines de $G$. Utiliser l’exerc. 19 d) pour prouver que $S_H$ vérifie la condition (ii) de l’exerc. 18 c).) e) Soit $d = (G : H) = \mathrm{Card}(Y)$. On suppose $d$ fini. Monter que l’on a:

(Soit $T$ une partie finie $S$-connexe non vide de $G$, et soit $T'$ (resp. $T''$) l’ensemble des couples d’éléments $S$-voisins dont le premier élément (resp. les deux éléments) appartient (resp. appartiennent) à $T$. On a $\mathrm{Card}(T') = 2\ \mathrm{Card}(X)\mathrm{Card}(T)$ et l’on montrera, par récurrence sur $\mathrm{Card}(T)$, que $\mathrm{Card}(T'') = 2\ \mathrm{Card}(T) - 2$. On appliquera le résultat à $T = Y$, en remarquant que $S_H$ est équipotent à $T' - T''$.)