Bài tập 20, § 7

Ta giữ các ký hiệu của bài tập trước. Cho H là một nhóm con của G. a) Cho R_H là tập hợp các tập con T S-liên thông của G sao cho hT ∩ T = ∅ nếu h ∈ H, h ≠ e. Chứng minh rằng R_H là quy nạp đối với quan hệ bao hàm. b) Cho Y là một phần tử cực đại của R_H. Chứng minh rằng G = ⋃_{h ∈ H} hY, nói cách khác rằng Y là một hệ các đại diện của các lớp phải modulo H. (Nếu G′ = ⋃_{h ∈ H} hY là phân biệt với G, chứng minh rằng tồn tại x ∈ G′ và y ∈ Y là các láng giềng S, và suy ra rằng Y ∪ {x} thuộc R_H.) c) Cho S_H là tập hợp các phần tử h ∈ H sao cho Y và hY là các láng giềng. Nó là một tập con đối xứng của H. Chứng minh rằng một phần tử h ∈ H thuộc S_H khi và chỉ khi h ≠ e và tồn tại y, y′ trong Y, s ∈ S, sao cho ys = hy′. Chứng minh rằng S_H sinh H. (Nếu H′ là nhóm con của H sinh bởi S_H, ta sẽ chứng minh rằng ⋃_{h ∈ H′} hY là một thành phần S-liên thông của G.) Khôi phục kết quả này bằng bài tập 14 của I, p. 125. d) Cho X_H là một tập con của S_H sao cho S_H là hợp rời nhau của X_H và X_H⁻¹ (ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một tập con như vậy).

BÀI TẬP

Chứng minh rằng $X_H$ là một họ cơ bản của $H$, và đặc biệt rằng $H$ là một nhóm tự do ("định lý Nielsen-Schreier"). (Áp dụng tiêu chuẩn của bài tập 18 c) của I, p. 146 cho $H$, được trang bị $S_H$, bằng cách nhận thấy rằng hai phần tử $h, h'$ của $H$ là các láng giềng $S_H$ khi và chỉ khi $hY$ và $h'Y$ là các tập con láng giềng của $G$. Dùng bài tập 19 d) để chứng minh rằng $S_H$ thỏa mãn điều kiện (ii) của bài tập 18 c).) e) Cho $d = (G : H) = \mathrm{Card}(Y)$. Giả sử rằng $d$ hữu hạn. Chứng minh rằng ta có:

(Cho $T$ là một tập con S-liên thông khác rỗng hữu hạn của $G$, và cho $T'$ (tương ứng $T''$) là tập hợp các cặp phần tử láng giềng S mà phần tử thứ nhất (tương ứng cả hai phần tử) thuộc (tương ứng thuộc) $T$. Ta có $\mathrm{Card}(T') = 2\ \mathrm{Card}(X)\mathrm{Card}(T)$ và ta sẽ chứng minh, bằng quy nạp theo $\mathrm{Card}(T)$, rằng $\mathrm{Card}(T'') = 2\ \mathrm{Card}(T) - 2$. Ta sẽ áp dụng kết quả cho $T = Y$, bằng cách nhận thấy rằng $S_H$ là đẳng lực với $T' - T''$.)