Exercice 22, § 7

a) Soit $(y_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ une famille basique d’un groupe $F$. Soit $\varphi$ l’automorphisme de $F$ qui transforme $y_n$ en $y_{n+1}$; cet automorphisme définit une opération $\tau$ de $\mathbf{Z}$ sur $F$; soit $E = F \times_{\tau} \mathbf{Z}$ le produit semi-direct correspondant. Montrer que les éléments $x = (e, 1)$ et $y = (y_0, 0)$ forment une famille basique de $E$. (Soit $F_{x, y}$ le groupe libre construit sur $\{x, y\}$, et soit $f$ l’homomorphisme canonique de $F_{x, y}$ dans $E$. On montrera qu’il existe un homomorphisme $g : E \to F_{x, y}$ tel que $g((0, 1)) = x$ et $g((y_n, 0)) = x^n y x^{-n}$ et que $f$ et $g$ sont réciproques l’un de l’autre.) b) En déduire que le sous-groupe distingué de $F_{x, y}$ engendré par $y$ est un groupe libre de famille basique $(x^n y x^{-n})_{n \in \mathbf{Z}}$. Retrouver ce résultat en appliquant l’exerc. 20 au système de représentants formé des $x^n$ pour $n \in \mathbf{Z}$. c) Etendre ce qui précède aux groupes libres de rang quelconque.