Bài tập 22, § 7

(a) Cho $(y_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ là một họ cơ sở của một nhóm $F$. Gọi $\varphi$ là tự đẳng cấu của $F$ biến $y_n$ thành $y_{n+1}$; tự đẳng cấu này xác định một phép toán $\tau$ của $\mathbf{Z}$ trên $F$; đặt $E = F \times_{\tau} \mathbf{Z}$ là tích nửa trực tiếp tương ứng. Bây giờ chứng minh rằng các phần tử $x = (e, 1)$ và $y = (y_0, 0)$ lập thành một họ cơ sở của $E$. (Gọi $F_{x, y}$ là nhóm tự do được xây dựng trên $\{x, y\}$, và gọi $f$ là đồng cấu chính tắc từ $F_{x, y}$ vào $E$. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu $g : E \to F_{x, y}$ sao cho $g((0, 1)) = x$ và $g((y_n, 0)) = x^n y x^{-n}$ và $f$ và $g$ là nghịch đảo của nhau.) (b) Suy ra rằng nhóm con chuẩn tắc của $F_{x, y}$ sinh bởi $y$ là một nhóm tự do với họ cơ sở $(x^n y x^{-n})_{n \in \mathbf{Z}}$. Thu lại kết quả này bằng cách áp dụng Bài tập 20 cho hệ các phần tử đại diện được lập bởi các $x^n$ với $n \in \mathbf{Z}$. (c) Mở rộng kết quả trên cho các nhóm tự do có hạng tùy ý.