Exercice 28, § 7

On conserve les notations de l’exercice précédent. a) Soit $N$ un sous-groupe de $\Lambda$. On suppose que, pour tout $i \in I$, le groupe $N$ est distingué dans $G_i$. Montrer que $N$ est distingué dans $G = *_{A}G_i$, et que l’homomorphisme canonique de $*_{A/N}(G_i/N)$ dans $G/N$ est un isomorphisme. b) Pour tout $i \in I$, soit $H_i$ un sous-groupe de $G_i$, et soit $B$ un sous-groupe de $A$. On suppose que $H_i \cap A = B$ pour tout $i$. Montrer que l’homomorphisme canonique de $*_{B}H_i$ dans $G$ est injectif; son image est le sous-groupe de $G$ engendré par les $H_i$.