Exercice 32, § 7

Soient $A$ et $B$ deux groupes, et soit $G = A * B$ leur produit libre. Soit $X$ l’ensemble des commutateurs $(a, b)$, pour $a \in A - \{e\}$ et $b \in B - \{e\}$, et soit $S = X \cup X^{-1}$. a) Montrer que $X \cap X^{-1} = \varnothing$, et que, si $x$ est un élément de $X$, il existe un couple $(a, b)$ unique dans $(A - \{e\}) \times (B - \{e\})$ tel que $(a, b) = x$. b) Soit $n \geq 1$, et soit $(s_1, \ldots, s_n)$ une suite d’éléments de $S$ telle que $s_i s_{i+1} \neq e$ pour $1 \leq i < n$; soient $a_n \in A - \{e\}$, $b_n \in B - \{e\}$, $\varepsilon(n) = \pm 1$ tels que $s_n = (a_n, b_n)^{\varepsilon(n)}$. Soit $g = s_1 \ldots s_n$. Montrer, par récurrence sur $n$, que la décomposition réduite de $g$ est de longueur $\geq n + 3$, et se termine, soit par $a_n b_n$ si $\varepsilon(n) = 1$, soit par $b_n a_n$ si $\varepsilon(n) = -1$. c) Soit $R$ le noyau de la projection canonique $A * B \to A \times B$ correspondant (I, p. 80, prop. 4) aux injections canoniques $A \to A \times B$ et $B \to A \times B$. Montrer que $R$ est un groupe libre de famille basique $X$. (Utiliser $b$ pour prouver que $X$ est libre; si $R_X$ est le sous-groupe de $G$ engendré par $X$, montrer que $R_X$ est distingué; en déduire qu’il coïncide avec $R$.)