Bài tập 32, § 7

Cho A và B là hai nhóm và $G = A * B$ là tích tự do của chúng. Cho X là tập hợp các giao hoán tử $(a, b)$ với $a \in A - \{e\}$ và $b \in B - \{e\}$ và $S = X \cup X^{-1}$.

(a) Chứng minh rằng $X \cap X^{-1} = \varnothing$ và rằng, nếu $x$ là một phần tử của X, tồn tại một cặp có thứ tự duy nhất $a, b$ trong $(A - \{e\}) \times (B - \{e\})$ sao cho $(a, b) = x$.

(b) Cho $n \geq 1$ và cho $s_1, \ldots, s_n$ là một dãy các phần tử của S sao cho $s_i s_{i+1} \neq e$ với $1 \leq i < n$; cho $a_n \in A - \{e\}, b_n \in B - \{e\}, \varepsilon(n) = \pm 1$ sao cho $s_n = (a_n, b_n)^{\varepsilon(n)}$. Cho $g = s_1 \ldots s_n$. Chứng minh, bằng quy nạp theo $n$, rằng phân tích rút gọn của $g$ có độ dài $\geq n + 3$ và kết thúc hoặc với $a_n b_n$ nếu $\varepsilon(n) = 1$ hoặc với $b_n a_n$ nếu $\varepsilon(n) = -1$.

(c) Cho R là hạt nhân của phép chiếu chính tắc $A * B \to A \times B$ tương ứng (no. 3) với các đơn ánh chính tắc $A \to A \times B$ và $B \to A \times B$. Chứng minh rằng R là một nhóm tự do với họ cơ sở X. (Dùng (b) để chứng minh rằng X là tự do; nếu $R_X$ là nhóm con của G sinh bởi X, chứng minh rằng $R_X$ là chuẩn; suy ra rằng nó trùng với R.)