Algèbre, I, p. 149
Soit E=G∗AG′ la somme de deux groupes amalgamée par un sous-groupe commun A. Soit P (resp. P′) une partie de G (resp. de G′) vérifiant la condition (A) de I, p. 80. Soit n un entier ≥1. On note Ln l’ensemble des x∈E dont la décomposition réduite est de longueur ≤2n−1. On note Mn l’ensemble des x∈E de la forme ap1p1′p2p2′…pnpn′, avec a∈A,pi∈P−{e},pi′∈P′−{e}; de même, on note Mn′ l’ensemble des éléments de la forme ap1′p1p2′p2…pn′pn, où a,pi,pi′ vérifient les mêmes conditions. a) Montrer que Ln,Mn et Mn′ sont disjoints et que leur réunion est l’ensemble des éléments de E dont la décomposition réduite est de longueur ≤2n. b) Construire une bijection ε de Mn sur Mn′ telle que ε(ax)=aε(x) si a∈A,x∈Mn. c) Soient Xn=Ln∪Mn et Xn′=Ln∪Mn′; montrer que l’on a G.Xn=Xn et G′.Xn′=Xn′. d) On prolonge ε en une bijection de Xn sur Xn′ en posant ε(x)=x si x∈Ln. Montrer que l’on peut faire opérer E sur Xn de telle sorte que g(x)=gx si g∈G,x∈Xn et g′(x)=ε−1(g′ε(x)) si g′∈G′,x∈Xn. Montrer que, si g∈Xn, on a g(e)=g. e) Soit τn:E→SXn l’homomorphisme défini par l’action de E sur Xn décrite ci-dessus, et soit Rn le noyau de τn. Montrer que Rn∩Xn={e}; en déduire que l’intersection des Rn est réduite à e. f) Lorsque G et G′ sont finis, montrer que E est résiduellement fini (cf. I, p. 129, exerc. 5). (Remarquer que les Rn sont alors des sous-groupes d’indice fini.)