Đại số, I, p. 149
Cho E=G∗AG′ là tổng của hai nhóm được ghép bởi nhóm con chung A. Cho P (tương ứng P′) là một tập con của G (tương ứng của G′) thỏa mãn điều kiện (A) của I, p. 80. Cho n là một số nguyên ≥1. Ta ký hiệu bởi Ln tập hợp các x∈E mà phân tích rút gọn của nó có độ dài ≤2n−1. Ta ký hiệu bởi Mn tập hợp các x∈E có dạng ap1p1′p2p2′…pnpn′, với a∈A,pi∈P−{e},pi′∈P′−{e}; tương tự, ta ký hiệu bởi Mn′ tập hợp các phần tử có dạng ap1′p1p2′p2…pn′pn, trong đó a,pi,pi′ thỏa mãn cùng các điều kiện. (a) Bây giờ chứng minh rằng Ln,Mn và Mn′ rời nhau và hợp của chúng là tập hợp các phần tử của E mà phân tích rút gọn có độ dài ≤2n. (b) Xây dựng một song ánh ε của Mn lên Mn′ sao cho ε(ax)=aε(x) nếu a∈A,x∈Mn. (c) Cho Xn=Ln∪Mn và Xn′=Ln∪Mn′; bây giờ chứng minh rằng ta có G.Xn=Xn và G′.Xn′=Xn′. (d) Ta mở rộng ε thành một song ánh của Xn lên Xn′ bằng cách đặt ε(x)=x nếu x∈Ln. Bây giờ chứng minh rằng có thể làm cho E tác động trên Xn sao cho g(x)=gx nếu g∈G,x∈Xn và g′(x)=ε−1(g′ε(x)) nếu g′∈G′,x∈Xn. Bây giờ chứng minh rằng, nếu g∈Xn, ta có g(e)=g. (e) Cho τn:E→SXn là đồng cấu được xác định bởi tác động của E trên Xn mô tả ở trên, và cho Rn là hạt nhân của τn. Bây giờ chứng minh rằng Rn∩Xn={e}; suy ra rằng giao của các Rn chỉ gồm e. (f) Khi G và G′ hữu hạn, bây giờ chứng minh rằng E là hữu hạn dư (xem I, p. 129, bài tập 5). (Nhận xét rằng Rn khi đó là các nhóm con có chỉ số hữu hạn.)