Exercice 37, § 7

Soient $G$ un groupe et $S$ une partie symétrique finie de $G$, engendrant $G$. On note $\mathfrak{S}$ l’ensemble des parties finies de $G$, ordonnée par inclusion; c’est un ensemble filtrant. a) Soit $T \in \mathfrak{S}$, et soit $B_T$ l’ensemble des $S$-composantes connexes de $G - T$ (cf. I, p. 146, exerc. 18); soit $B_T^\infty = B_T - (\mathfrak{S} \cap B_T)$. Montrer que $B_T$ est fini (remarquer que, si $T \neq \emptyset$ et si $Z \in B_T$, il existe $t \in T$ et $z \in Z$ qui sont $S$-voisins). b) Soient $T, T'$ dans $\mathfrak{S}$, tels que $T \subset T'$. Si $Z' \in B_{T'}$, montrer qu’il existe un unique élément $Z \in B_T$ tel que $Z' \subset Z$; l’application $f_{TT'} : B_{T'} \to B_T$ tels que $f_{TT'}(Z') = Z$ applique $B_{T'}^\infty$ sur $B_T^\infty$. On note $B$ la limite projective des $B_T$, pour $T$ parcourant $\mathfrak{S}$. Montrer que $B = \lim \leftarrow B_T^\infty$ et que l’image de $B$ dans $B_T$ est $B_T^\infty$. L’ensemble $B$ s’appelle l’ensemble des bouts de $G$; il est non vide si et seulement si $G$ est infini. c) Soit $T$ une partie finie, $S$-connexe et non vide de $G$, et soit $Z \in B_T^\infty$. Montrer qu’il existe $g \in G$ tel que $gT \cap T = \emptyset$ et $gT \cap Z \neq \emptyset$ et que l’on a alors $gT \subset Z$. Montrer qu’il existe $Z_1 \in B_T$ tel que $gZ_1$ contienne $T$ et tous les $Z' \in B_T$ tels que $Z' \neq Z$ (observer que $T \cup \bigcup_{Z' \neq Z} Z'$ est $S$-connexe et ne rencontre pas $gT$); en déduire que, si $Z' \in B_T$ est différent de $Z_1$, on a $gZ' \subset Z$. Montrer que, si l’on pose $T' = T \cup gT$, l’image réciproque de $Z$ dans $B_{T'}^\infty$ est formée d’au moins $n-1$ éléments, où $n = \mathrm{Card}(B_T^\infty)$. d) Soit $S'$ une partie finie symétrique de $G$ engendrant $G$ et soit $B'$ l’ensemble des bouts de $G$ relativement à $S'$. Définir une bijection de $B$ sur $B'$ (se ramener au cas où $S \subset S'$). Le cardinal de $B$ est donc indépendant du choix de $S$; on l’appelle le nombre de bouts de $G$. e) Démontrer, en utilisant c), que le nombre de bouts de $G$ est égal à $0, 1, 2$ ou $2^{N_0}$. f) Montrer que le nombre de bouts de $\mathbf{Z}$ est 2 et que celui de $\mathbf{Z}^n$ ($n \geq 2$) est 1.