Bài tập 37, § 7

Cho $G$ là một nhóm và $S$ là một tập con hữu hạn đối xứng của $G$, sinh ra $G$. Ta ký hiệu $\mathfrak{S}$ là tập hợp các tập con hữu hạn của $G$, có thứ tự bởi quan hệ bao hàm; nó là một tập hợp lọc. a) Cho $T \in \mathfrak{S}$, và cho $B_T$ là tập hợp các thành phần $S$-liên thông của $G - T$ (xem I, p. 146, Bài tập 18); cho $B_T^\infty = B_T - (\mathfrak{S} \cap B_T)$. Chứng minh rằng $B_T$ là hữu hạn (chú ý rằng, nếu $T \neq \emptyset$ và nếu $Z \in B_T$, thì tồn tại $t \in T$ và $z \in Z$ là các $S$-lân cận). b) Cho $T, T'$ thuộc $\mathfrak{S}$, sao cho $T \subset T'$. Nếu $Z' \in B_{T'}$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một phần tử duy nhất $Z \in B_T$ sao cho $Z' \subset Z$; ánh xạ $f_{TT'} : B_{T'} \to B_T$ sao cho $f_{TT'}(Z') = Z$ ánh xạ $B_{T'}^\infty$ lên $B_T^\infty$. Ta ký hiệu $B$ là giới hạn xạ ảnh của các $B_T$, với $T$ chạy trên $\mathfrak{S}$. Bây giờ chứng minh rằng $B = \lim \leftarrow B_T^\infty$ và rằng ảnh của $B$ trong $B_T$ là $B_T^\infty$. Tập hợp $B$ được gọi là tập hợp các đầu của $G$; nó khác rỗng khi và chỉ khi $G$ là vô hạn. c) Cho $T$ là một tập con hữu hạn, $S$-liên thông và khác rỗng của $G$, và cho $Z \in B_T^\infty$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại $g \in G$ sao cho $gT \cap T = \emptyset$ và $gT \cap Z \neq \emptyset$ và khi đó ta có $gT \subset Z$. Chứng minh rằng tồn tại $Z_1 \in B_T$ sao cho $gZ_1$ chứa $T$ và tất cả các $Z' \in B_T$ sao cho $Z' \neq Z$ (nhận xét rằng $T \cup \bigcup_{Z' \neq Z} Z'$ là $S$-liên thông và không gặp $gT$); suy ra rằng, nếu $Z' \in B_T$ khác $Z_1$, thì ta có $gZ' \subset Z$. Bây giờ chứng minh rằng, nếu đặt $T' = T \cup gT$, thì ảnh ngược của $Z$ trong $B_{T'}^\infty$ gồm ít nhất $n-1$ phần tử, trong đó $n = \mathrm{Card}(B_T^\infty)$. d) Cho $S'$ là một tập con hữu hạn đối xứng của $G$ sinh ra $G$ và cho $B'$ là tập hợp các đầu của $G$ đối với $S'$. Định nghĩa một song ánh từ $B$ lên $B'$ (rút gọn về trường hợp $S \subset S'$). Lực lượng của $B$ do đó độc lập với lựa chọn $S$; nó được gọi là số các đầu của $G$. e) Chứng minh, sử dụng c), rằng số các đầu của $G$ bằng $0, 1, 2$ hoặc $2^{N_0}$. f) Chứng minh rằng số các đầu của $\mathbf{Z}$ là 2 và của $\mathbf{Z}^n$ ($n \geq 2$) là 1.