Exercice 38, § 7

Soient $X$ un ensemble fini, $F(X)$ le groupe libre construit sur $X$, et $S = X \cup X^{-1}$. a) Soit $S_n$ l’ensemble des produits $s_1 \ldots s_m$ pour $s_i \in S, m \leq n$. Montrer que toute $S$-composante connexe (cf. I, p. 146, exerc. 18) de $F(X) - S_n$ contient un élément et un seul de la forme $s_1 \ldots s_{n+1}$, avec $s_i \in S$ et $s_i s_{i+1} \neq e$ pour $1 \leq i \leq n$. b) Déduire de a) une bijection de l’ensemble $B$ des bouts de $F(X)$ (cf. exerc. 37) sur l’ensemble des suites infinies $(s_1, \ldots, s_n, \ldots)$ d’éléments de $S$ telles que $s_i s_{i+1} \neq e$ pour tout $i$. En particulier, le nombre de bouts de $F(X)$ est égal à $2^{N_0}$ si $\mathrm{Card}(X) \geq 2$.

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