Bài tập 38, § 7

Cho $X$ là một tập hợp hữu hạn, $F(X)$ là nhóm tự do được xây dựng trên $X$, và $S = X \cup X^{-1}$. a) Cho $S_n$ là tập hợp các tích $s_1 \ldots s_m$ với $s_i \in S, m \leq n$. Bây giờ chứng minh rằng mọi thành phần liên thông $S$ (xem I, p. 146, bài tập 18) của $F(X) - S_n$ chứa một và chỉ một phần tử có dạng $s_1 \ldots s_{n+1}$, với $s_i \in S$ và $s_i s_{i+1} \neq e$ với $1 \leq i \leq n$. b) Suy ra từ a) một song ánh của tập hợp $B$ các đầu mút của $F(X)$ (xem bài tập 37) lên tập hợp các dãy vô hạn $(s_1, \ldots, s_n, \ldots)$ các phần tử của $S$ sao cho $s_i s_{i+1} \neq e$ với mọi $i$. Đặc biệt, số các đầu mút của $F(X)$ bằng $2^{N_0}$ nếu $\mathrm{Card}(X) \geq 2$.

BÀI TẬP