Exercice 4, § 7

Soient $X$ un ensemble et $c$ un élément n’appartenant pas à $X$. On pose $Y = X \cup \{c\}$. Soit $M$ le magma ayant pour ensemble sous-jacent $Mo(Y)$, la loi de composition étant donnée par $(u, v) \mapsto cuv$. Soit $L$ le sous-magma de $M$ engendré par $X$, et soit $\varepsilon$ l’application de $Y$ dans $\mathbf{Z}$ égale à $-1$ sur $X$ et à $1$ en $c$. a) Montrer que $L$ est le sous-ensemble de $M$ formé des mots $w = y_1 \ldots y_p$, où $y_i \in Y$, vérifiant les deux conditions suivantes: (i) $\varepsilon(y_1) + \cdots + \varepsilon(y_p) = -1$. (ii) $\varepsilon(y_1) + \cdots + \varepsilon(y_i) \geq 0$ pour $1 \leq i \leq p - 1$. Montrer que tout élément de $L - X$ s’écrit de manière unique sous la forme $cuv$, avec $u, v$ dans $L$. (Les éléments $w$ vérifiant (i) et (ii) forment un sous-magma $L'$ de $M$ contenant $X$. Si $w = y_1 \ldots y_p$ appartient à $L'$, soit $k$ le plus petit entier tel que $\varepsilon(y_1) + \cdots + \varepsilon(y_k) = 0$; montrer que l’on a $y_1 = c$ et que les éléments $u = y_2 \ldots y_k$ et $v = y_{k+1} \ldots y_p$ appartiennent à $L'$; on a $w = cuv$, d’où par récurrence sur $p$ la relation $w \in L$. Démontrer ensuite que les relations $u' \in L, v' \in L$ et $w = cu'v'$ entraînent $u' = u, v' = v.$) b) Montrer que l’injection de $X$ dans $L$ se prolonge en un isomorphisme de $M(X)$ sur $L$.