Bài tập 4, § 7

Cho $X$ là một tập hợp và $c$ là một phần tử không thuộc $X$. Đặt $Y = X \cup \{c\}$. Cho $M$ là magma có $Mo(Y)$ làm tập nền, luật hợp thành được cho bởi $(u, v) \mapsto cuv$. Cho $L$ là magma con của $M$ sinh bởi $X$, và cho $\varepsilon$ là ánh xạ của $Y$ vào $\mathbf{Z}$ bằng $-1$ trên $X$ và bằng $1$ tại $c$. a) Chứng minh rằng $L$ là tập con của $M$ tạo bởi các từ $w = y_1 \ldots y_p$, trong đó $y_i \in Y$, thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) $\varepsilon(y_1) + \cdots + \varepsilon(y_p) = -1$. (ii) $\varepsilon(y_1) + \cdots + \varepsilon(y_i) \geq 0$ với $1 \leq i \leq p - 1$. Chứng minh rằng mọi phần tử của $L - X$ được viết duy nhất dưới dạng $cuv$, với $u, v$ thuộc $L$. (Các phần tử $w$ thỏa mãn (i) và (ii) tạo thành một magma con $L'$ của $M$ chứa $X$. Nếu $w = y_1 \ldots y_p$ thuộc $L'$, cho $k$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $\varepsilon(y_1) + \cdots + \varepsilon(y_k) = 0$; chứng minh rằng ta có $y_1 = c$ và các phần tử $u = y_2 \ldots y_k$ và $v = y_{k+1} \ldots y_p$ thuộc $L'$; ta có $w = cuv$, do đó bằng quy nạp theo $p$ có quan hệ $w \in L$. Sau đó chứng minh rằng các quan hệ $u' \in L, v' \in L$ và $w = cu'v'$ kéo theo $u' = u, v' = v.$) b) Chứng minh rằng đơn ánh của $X$ vào $L$ mở rộng thành một đẳng cấu từ $M(X)$ lên $L$.