Exercice 7, § 7

Soit $M_x$ le magma libre construit sur un ensemble $\{x\}$ à un élément. a) Pour tout $y \in M_x$, montrer qu’il existe un unique endomorphisme $f_y$ de $M_x$ tel que $f_y(x) = y$; c’est un isomorphisme de $M_x$ sur le sous-magma $M_y$ engendré par y (cf. exerc. 6). b) Si $y \in M_x, z \in M_x$, on pose $y \circ z = f_y(z)$. Montrer que la loi de composition $(y, z) \mapsto y \circ z$ fait de $M_x$ un monoïde, d’élément neutre x, isomorphe au monoïde End($M_x$) des endomorphismes de $M_x$. c) Soit N l’ensemble des sous-magmas monogènes de $M_x$ distincts de $M_x$. Un élément y de $M_x$ est dit primitif si $M_y$ est un élément maximal de N. Montrer que $xx, x(x(xx))$ sont primitifs alors que $x, (xx)(xx)$ ne le sont pas. d) Soit P l’ensemble des éléments primitifs de $M_x$. Montrer que, si $y \in P, z \in P, y \neq z$, on a $M_y \cap M_z = \varnothing$ (utiliser l’exerc. 6). e) Soit Mo(P) le monoïde libre construit sur P. Si l’on munit $M_x$ de la structure de monoïde définie en b), l’injection $P \to M_x$ se prolonge en un homomorphisme $p : Mo(P) \to M_x$. Montrer que $p$ est un isomorphisme. (Si $z \in M_x$, on montrera par récurrence sur $l(z)$ que l’on a $z \in \operatorname{Im}(p)$. D’autre part, si $y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_m$ sont des éléments de P tels que $p(y_1 \ldots y_n) = p(z_1 \ldots z_m)$, on a $M_{y_1} \cap M_{z_1} \neq \varnothing$, d’où $y_1 = z_1$ et $f_{y_1}(p(y_2 \ldots y_n)) = f_{y_2}(p(z_2 \ldots z_m))$; d’où $p(y_2 \ldots y_n) = p(z_2 \ldots z_m)$, et on en déduit que $y_1 \ldots y_n = z_1 \ldots z_m$ en raisonnant par récurrence sur $\sup(n, m)$).