Bài tập 7, § 7

Cho $M_x$ là magma tự do được xây dựng trên một tập hợp $\{x\}$ có một phần tử. (a) Với mọi $y \in M_x$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một tự đồng cấu duy nhất $f_y$ của $M_x$ sao cho $f_y(x) = y$; nó là một đẳng cấu của $M_x$ lên magma con $M_y$ sinh bởi y (xem bài tập 6). (b) Nếu $y \in M_x, z \in M_x$, đặt $y \circ z = f_y(z)$. Bây giờ chứng minh rằng luật hợp thành $(y, z) \mapsto y \circ z$ làm cho $M_x$ thành một mônôit, với phần tử đơn vị x, đẳng cấu với mônôit End($M_x$) của các tự đồng cấu của $M_x$. (c) Cho N là tập hợp các magma con đơn sinh của $M_x$ phân biệt với $M_x$. Một phần tử y của $M_x$ được gọi là nguyên thủy nếu $M_y$ là một phần tử cực đại của N. Bây giờ chứng minh rằng $xx, x(x(xx))$ là nguyên thủy trong khi $x, (xx)(xx)$ không phải là nguyên thủy. (d) Cho P là tập hợp các phần tử nguyên thủy của $M_x$. Bây giờ chứng minh rằng, nếu $y \in P, z \in P, y \neq z$, ta có $M_y \cap M_z = \varnothing$ (dùng bài tập 6). (e) Cho Mo(P) là mônôit tự do được xây dựng trên P. Nếu trang bị cho $M_x$ cấu trúc mônôit được xác định trong b), đơn ánh $P \to M_x$ mở rộng thành một đồng cấu $p : Mo(P) \to M_x$. Bây giờ chứng minh rằng $p$ là một đẳng cấu. (Nếu $z \in M_x$, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp trên $l(z)$ rằng ta có $z \in \operatorname{Im}(p)$. Mặt khác, nếu $y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_m$ là các phần tử của P sao cho $p(y_1 \ldots y_n) = p(z_1 \ldots z_m)$, ta có $M_{y_1} \cap M_{z_1} \neq \varnothing$, do đó $y_1 = z_1$ và $f_{y_1}(p(y_2 \ldots y_n)) = f_{y_2}(p(z_2 \ldots z_m))$; do đó $p(y_2 \ldots y_n) = p(z_2 \ldots z_m)$, và ta suy ra rằng $y_1 \ldots y_n = z_1 \ldots z_m$ bằng lập luận quy nạp trên $\sup(n, m)$).