Exercice 13, § 8

Soient A un anneau, $e$ un idempotent de A.

a) Montrer que le groupe additif de $A$ est somme directe de l’idéal à gauche $a = Ae$ et de l’annulateur à gauche $b$ de $e$ (remarquer que, pour tout $x \in A, x - xe \in b$). b) Tout idéal à droite $d$ de $A$ est somme directe de $d \cap a$ et $d \cap b$. c) Si $Ae = eA$, $a$ et $b$ sont des idéaux bilatères de $A$ et définissent une décomposition directe de $A$.