Exercice 15, § 8

On appelle annéloïde un ensemble $E$ muni de deux lois de composition : a) une multiplication $(x, y) \mapsto xy$ associative ; b) une loi notée additivement, non partout définie (I, p. 1), et satisfaisant aux conditions suivantes : $1^\circ$ elle est commutative (autrement dit, si $x + y$ est défini, il en est de même de $y + x$, et on a $x + y = y + x$; on dit alors que $x$ et $y$ sont addibles) ; $2^\circ$ $x$ et $y$ étant addibles, pour que $x + y$ et $z$ soient addibles il, suffit que $x$ et $z$ d’une part, $y$ et $z$ d’autre part, soient addibles; alors $x$ et $y + z$ sont addibles et on a $(x + y) + z = x + (y + z)$; $3^\circ$ il existe un élément neutre $0$; $4^\circ$ si $x$ et $z$ d’une part, $y$ et $z$ d’autre part, sont addibles et si $x + z = y + z$, on a $x = y$; $5^\circ$ si $x, y$ sont addibles, il en est de même de $xz$ et $yz$ (resp. $zx$ et $zy$) et $(x + y)z = xz + yz$ (resp. $z(x + y) = zx + zy$), quel que soit $z \in E$.

Tout anneau est un annéloïde.

a) Examiner comment s’étendent aux annéloïdes les définitions et résultats du § 8 et les exercices ci-dessus (on appellera idéal à gauche d’un annéloïde $E$ une partie $a$ de $E$ stable pour l’addition (i.e., telle que la somme de deux éléments addibles de $a$ appartienne à $a$, et telle que $E.a \subset a$).

b) Soient $G$ un groupe à opérateurs, $f$ et $g$ deux endomorphismes de $G$. Pour que l’application $x \mapsto f(x)g(x)$ soit un endomorphisme de $G$, il faut et il suffit que tout élément du sous-groupe $f(G)$ soit permutable avec tout élément du sous-groupe $g(G)$; si on note alors $f + g$ cet endomorphisme, et $fg$ l’endomorphisme composé $x \mapsto f(g(x))$, montrer que l’ensemble $E$ des endomorphismes de $G$, muni de ces deux lois de composition, est un annéloïde ayant un élément unité; pour que $E$ soit un anneau, il faut et il suffit que $G$ soit commutatif.

Pour qu’un élément $f \in E$ soit addible avec tous les éléments de $E$, il faut et il suffit que $f(G)$ soit contenu dans le centre de $G$; l’ensemble $N$ de ces endomorphismes est un pseudo-anneau qu’on appelle le noyau de l’annéloïde $E$.

Un endomorphisme $f$ de $G$ est dit distingué s’il est permutable avec tous les automorphismes intérieurs de $G$; pour tout sous-groupe stable distingué $H$ de $G$, $f(G)$ est alors un sous-groupe stable distingué de $G$. Montrer que l’ensemble $D$ des endomorphismes distingués de $G$ forme un sous-annéloïde de $E$, et que le noyau $N$ est un idéal bilatère dans $D$.\footnote{Voir H. Fitting, Die Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen, und ihr Analogon bei nicht kommutativen Gruppen, Math. Ann., t. CVII (1933), p. 514.}